Lehet végtelen a múlt?
2018. február 19. Apologetika 3

A kereszténység és a többi Bibliára épülő vallás szerint a világegyetem nem örök idők óta létezik, hiszen valamikor Isten hozta azt létre. Vajon ezt csak hit által láthatjuk be, vagy érvekkel is? Erről megoszlanak a vélemények. Több középkori keresztény gondolkodó szerint ezt csak isteni kinyilatkoztatásból tudhatjuk. A huszadik század óta sokan amellett érvelnek, hogy a természettudomány, azon belül pedig a kozmológia eredményei erősen arra mutatnak, hogy az univerzumnak kezdete volt – ezt állítja ugyanis sokak szerint az Ősrobbanás-elmélet.

Egy harmadik, a másodikkal összeférő megközelítés szerint logikai vagy filozófiai úton is lehet amellett érvelni, hogy a múlt véges – vagyis, hogy nem telt el végtelen sok idő mostanáig. Ez egy tágabb állítás, mint ami csak a fizikai világegyetem kezdetére vonatkozik, azonban ha ez megáll, abból az is következik. A mai filozófusok különböző gondolatkísérletekkel – amelyek mögött természetesen rendszerint mélyebb megfontolások is állnak – szokták illusztrálni, hogy az örök múlt gondolata miért vezet képtelenségekhez, abszurditáshoz.1

Ebben a posztban ezek közül fogom bemutatni a legjelentősebbeket. Talán elsőre öncélúnak tűnnek, de érdekes, sőt fontos is lehet elgondolkodni rajtuk, hátha a valóság egy fontos oldalára mutatnak rá! Legrosszabb esetben pedig a logikai fejtörőkhöz hasonlókkal van dolgunk.

A valóságos végtelenek képtelensége

A gondolatkísérletek egyik típusa amellett érvel, hogy általánosan képtelenség, hogy végtelenek2 valósan létezzenek. Tény: a matematikában, konkrétabban a halmazelméletben fontos szerepük van, de az, hogy egy axiomatikus, elvont rendszerben hasznosan jelen vannak, nem jelenti, hogy a valóságban is lehetségesek. Az abszurditásukat három elképzelt helyzettel illusztráljuk. Matematikában tanultabb olvasóink első reakciója az lehet, hogy elfogadják ezeket a képtelen konklúziókat mondván, hogy a legelfogadottabb halmazelméleti axiómarendszer szerint ezek megállnak, azonban emlékezzünk: nem az a kérdés, hogy matematikailag helyesek-e a következő történetek, hanem, hogy a valóságban elképzelhetőek-e.

A Hilbert-szálló

Képzeljünk el egy szállodát, amelyben végtelen sok szoba van.3 Ráadásul az összes szoba foglalt, nincsen egy üres sem. A recepción egy nap megjelenik egy új vendég, és szabad szállás után érdeklődik. A recepciós válasza: mi sem könnyebb! pusztán annyi a dolga minden lakónak, hogy megnézi a szobaszámát, és átköltözik az eggyel nagyobb számú szobába. Így mindenkinek van hova költöznie, az első szoba mégis kiürül, és az új látogatónak van hol aludnia. Lehetséges ez?

A helyzet azonban még érdekesebb. Pár héttel később egy végtelen hosszú túrabusz érkezik, amelyen végtelen sok ülésről végtelen számú turista száll le, és mind saját szobát szeretnének a szállóban, amelynek minden szobájában laknak. A recepcióst azonban ez a helyzet sem aggasztja: megkér minden lakót, hogy a szobaszámának kétszereséhez tartozó szobába költözzön át. Így mindenkinek van hova mennie, viszont minden páratlan számú szoba felszabadul; páratlan számból pedig végtelen sok van, így a túrabusz minden utasa találhat magának szabad szobát.

Így tehát a Hilbert-szállónál4 azzal a helyzettel találkozunk, hogy egy szállodában minden szoba tele van, mégis szabaddá tehető hely anélkül, hogy bárki elmenne, vagy bármely két addigi lakó közös szobába kerülne. Matematikailag „kijön” – de vajon alkalmazható-e egy ember alkotta elvi rendszer minden eleme a valóságra, bármilyen abszurdnak tűnik is? Miért kéne ezt így gondolnunk?

A vékonyodó lapú könyv

A következő példánkban képzeljünk magunk elé egy könyvet.5 Az első lapja fél centiméter vastag. A második negyed, a harmadik nyolcad és így tovább végtelen sok lapon keresztül. Ennek a végtelen sorozatnak az összege 1 – ez vitán felül kiszámítható –, tehát a könyvünk egy centiméter vastag. Mivel végtelen sok lapja van a könyvnek, nincs utolsó oldal, mégis a könyv borítója nem csukódhat egy centiméternél szűkebben össze. Most fordítsuk meg gondolatban ezt a könyvet úgy, hogy a hátlapja van előttünk. Mi történik, ha felnyitjuk a hátlapot? Mit látunk? Az utolsó lapot nem láthatjuk, hiszen nincsen utolsó lap. Semmit? Ismét azt találjuk, hogy ha ezeket az elvont matematikai képzeteket a valóságra vetítjük, képtelenséget kapunk.

A kaszás-paradoxon

A következő gondolatkísérletben a kaszás halállal fogunk ismerkedni – sőt, nem is eggyel.6 Képzeljük el Józsit, aki éjfélkor életben van. Kössük ki, hogy a következő percekben a kaszásokon kívül más nem okozza a halálát. Képzeljünk el továbbá végtelen sok kaszást, akik a következőképpen működnek. Mindegyiknek van egy vekkere egy adott időpillanatra állítva. Ha abban a pillanatban Józsi még él, akkor az adott kaszás megöli Józsit. Ha már halott, akkor nem tesz semmit. Az első kaszás órája éjfél után egy percre van beállítva, a második éjfél után ½ percre, azután ⅓, ¼ stb. a végtelenségig, egyre rövidebb idővel éjfél utánra.

Mit látunk éjfél után egy perccel? (Emlékezzünk: a „leglassabb” kaszás is fél perc után lendül akcióba.) Józsi nyilván halott. De melyik kaszás ölte meg? A fél perces nem lehetett, hiszen volt, aki nála korábban lendült működésbe, például a ¼ perces, és ha azt látja, hogy Józsi már halott, akkor nem tesz semmit. De ez minden korábbi kaszásra is igaz: Józsi már halott, hiszen egyik kaszás sem az első, viszont egyik kaszás sem öli meg Józsit, hiszen már halott. Ellentmondásra jutottunk: valami képtelenség lehet ebben a történetben. Vagy az, hogy végtelen sok eseményt feltételez, vagy esetleg az, hogy az időt akármilyen kis részekre bonthatónak gondolja, pedig valójában nem az – ez utóbbi a tudományban vitatott kérdés.

Azonban változtathatunk egy keveset a kaszás-paradoxonon úgy, hogy direktebben vonatkozzon a múlt végességére.7 Gondoljunk Józsira, aki örök időtől fogva élt, de a kaszások képesek megölni. A kaszások vekkerei a következőképpen voltak beállítva: egy évvel ezelőtt, két évvel ezelőtt, három évvel ezelőtt stb., vissza a múltbeli örökkévalóságig. Él most Józsi? Nyilván nem, hiszen a legkésőbbi kaszás is egy éve megölhette. De ő ölte meg? Nem, hiszen volt nála korábbi, és ha már halottnak találta Józsit, akkor meg sem próbálta megölni. Ugyanott tartunk, mint az előbb: egyik kaszás sem ölte meg Józsit, mert ő addigra már halott volt, pedig csak az első kaszás ölhette meg – azonban ilyen nincs, mivel végtelen sokan vannak. Ellentmondásra jutottunk.

A végtelenhez eljutás képtelensége

A gondolatkísérletek másik csoportja egy szűkebb kérdést vizsgál: el lehet-e jutni a végtelenig, vagy át lehet-e haladni végtelen sok időpillanaton – ugyanis, ha a múlt végtelen, akkor erre volt szükség ahhoz, hogy eljussunk mostanáig. Ennek hasonló az intuitív hihetetlensége – mondják egyesek –, mint annak, hogy valaki felsorolta az összes negatív egész számot növekvő sorrendben, és eljutott −1-hez.8 A következőkben pár olyan gondolatkísérletet vizsgálunk meg, amelyek ezt illusztrálják.

A bolygók keringése

Amíg a Szaturnusz egyszer megkerüli a Napot, a Jupiter két és félszer ér körbe a pályáján.9 Képzeljük el azt, hogy örök idők óta így keringenek. (Természetesen nem azt mondjuk, hogy aki szerint a múlt végtelen ideje létezik, az a Naprendszerről is ezt gondolja.) Melyik kerülte meg többször a Napot? A matematikailag helyes válasz erre az, hogy ugyanannyiszor kerülték meg – mégis, ez a valóságban képtelenségnek tűnik. Hiszen nem csak, hogy a Jupiter gyorsabban kerüli meg a Napot, de a Szaturnusz emiatt folyamatosan egyre inkább lemarad! Tehát a Jupiter előnye az idő előrehaladtával nő. Mégis, mire eltelt végtelen idő, azt kell mondanunk, hogy ugyanannyiszor kerülték meg. Ismét azt látjuk, hogy ezek a matematikai absztrakciók nehezen vetíthetők ki a valóságba.

Tristram Shandy paradoxona

Laurence Sterne 18. századi sokkötetes regénye a Tristram Shandy úr élete és gondolatai. Ebben a főszereplő olyan részletesen írja a naplóját, hogy minden nap leírása egy évig tart. A gondolatkísérletünk lényege: ha Tristram Shandy öröktől fogva írja a naplóját, akkor hogyan áll most?10 Egyrészt elmondható, hogy végtelen sok napját megírta végtelen sok év alatt. Azonban azt is beláthatjuk, hogy végtelenül le van maradva, hiszen minden évvel, amit egy napja megírásával töltött, 364 napot lemaradt (szökőévektől eltekintve). Azonban itt abszurditásba ütközünk, a következő okból.

Ha elkezdünk számolni egytől fölfelé, korlátlan idő segítségével akármeddig elszámolhatunk, de sosem fogunk elérni végtelenig. Ez hasonlóan működik a múlt felé is: ha valami egyszer „jelen” volt, „most” volt, akkor utána akárhány nap eltelhet, sosem lesz végtelenül távol. Tristram Shandy a gondolatkísérlet alapján azonban megélt olyan napokat, amelyek mostanra a végtelen távoli múltba kerültek. A gondolatkísérlettel tehát logikai baj van: viszont a naplóírással kevéssé lehet – sokkal inkább úgy tűnik, hogy a végtelen múlt a tarthatatlan.

De képzeljük el, hogy mi van akkor, ha Tristram Shandy mégis befejezte mostanra a naplóját, vagy ha a bevezetésben említett ember mégis elszámolt a legkisebb negatív számtól −1-ig végtelen idő alatt. A kérdés ekkor: mikor fejezték be? Mikor értek a végére ennek? Ha pedig erre válaszolunk – ma, tegnap, végtelen ideje –, akkor fölmerülhet a következő kérdés: miért nem egy nappal korábban? Hiszen egy nappal „korábbanig” is eltelt már végtelen sok idő. Így viszont nincsen magyarázat az elkészülés időpontjára: a végtelen feladatokkal az örök múlttól kezdő emberünk vagy soha nem készül el, vagy a múltnak tetszőleges pillanatára már elkészült. Így a végtelen ideje elkezdett cselekvés, folyamat sok típusa nem tűnik lehetségesnek.

Konklúzió

A végtelenek matematikája gondosan kidolgozott és koherens rendszer. (Nem is egy!) Azonban az nem matematikai kérdés, hogy minden, ami egy matematikai rendszerben nem ellentmondásos, valóságos is lehet-e. Ezen a ponton sokkal inkább kell hagyatkoznunk a valóságról alkotott egyéb meglátásainkra. Ebben segítenek ezek a gondolatkísérletek: rámutatnak több oldalról, hogy a végtelen múlt gondolata számos oldalról problémákba ütközik. A gondolatkísérletek nehézsége azonban, hogy nem mindig nyilvánvaló, mennyire szélesen alkalmazhatók, illetve, hogy ha önellentmondásra vagy képtelenségre vezetnek, az biztosan az általunk vizsgált aspektusuk miatt van-e.

Ezen korlátok ellenére számomra a módosított kaszás-paradoxon és az utolsó kettő, a végtelenhez eljutás képtelenségét szemléltető gondolatkísérlet nagy meggyőző erővel bír. Ha bármit ér a világ megismerésében és tévedések elkerülésében az, hogy valami teljes képtelenségnek tűnik, sőt akár az abból fakadó helyzetek logikai ellentmondásokhoz vezetnek, akkor jó okunk van elutasítani a múlt örökkévalóságát.


  1. Érdemes megjegyezni: mivel ezek a gondolatkísérletek egymástól függetlenek, ezért ha akár csak egyikük is megállja a helyét, jó érvvel bírunk a múlt végessége mellett.
  2. Ezekben a gondolatkísérletekben ezek rendszerint érthetők megszámlálható, „alef-null” számosságú végtelenekként.
  3. William L. Craig és James D. Sinclair: The Kalam Cosmological Argument. In: William L. Craig és J. P. Moreland (szerk.): The Blackwell Companion to Natural Theology. Wiley–Blackwell, 2009. 101–201., itt: 108–110. o.
  4. A szálló a nevét a paradoxon megfogalmazójáról, David Hilbert német matematikusról kapta.
  5. Craig és Sinclair: The Kalam Cosmological Argument, 108. o., 8. lj.
  6. Alexander Pruss: From the Grim Reaper paradox to the Kalaam argument. Alexander Pruss’s Blog, 2009.
  7. William Lane Craig: Grim Reaper Paradox. Question of the Week #422. Reasonable Faith, 2015.
  8. Craig és Sinclair: The Kalam Cosmological Argument, 120. o.
  9. Körülbelül. A gondolatkísérlet forrása: uo.
  10. Craig és Sinclair: The Kalam Cosmological Argument, 120–122. o.
Békefi Bálint

Békefi Bálint

Békefi Bálint (1996–) a Pünkösdi Teológiai Főiskola teológus- és az Óbudai Egyetem mérnökinformatikus-hallgatója, a budapesti Golgota Gyülekezet ifjúsági munkájának segítője.
Békefi Bálint

Latest posts by Békefi Bálint (see all)

Megosztás:

3 comments on “Lehet végtelen a múlt?

  1. Nagyon jó kis gyűjtés! Igen érdekes témakör. És összességében nagyon is egyetértek vele, (illetve a tudomány aktuális állása is az, hogy az időnek volt kezdete) de egy apró dolog nem hagy nyugodni.

    A végtelen egy absztrakt matematikai fogalom. Ettől még az nem „ember alkotta elvi rendszer”. A Matematikát annyira találta fel az ember, mint amennyire az Amerikai kontinenst, vagy az elektromosságot. Felfedezni, azt már inkább! Ez is ugyanúgy a természet része, és rengeteg más absztrakt matematiaki fogalom létezik, melynek a „való világbeli” alkalmazása előfordul a természetben (pl. Fibonacci spirál geometriai közelítése, vagy akár a kör területének kiszámolása (Pi, mint valós, de mégis végtelen szám), vagy az integrálszámítás esetén is a végtelen közelítése nagyon is konkrét, valós világban is megfigyelhető és alkalmazható, hiába „elvont matematikai képzet”.)

    Szóval maga a koncepció létezik, ám ahogy te is rávilágítasz, valószínűleg mi emberek hibázunk amikor az időre próbáljuk ezt a tulajdonságot ráilleszteni. Szépen látszik, és tényleg egyetértek azzal, hogy az idő, valószínűleg olyan fogalom, amelyre a végtelen tulajdonság koncepciója nem illeszthető – de ettől még ez utóbbi létezik. (például, ha azt mondjuk, Isten hatalma végtelen – ezekről is van pár olyan paradoxon, aminek nincs megoldása, mégsem fogadjuk el ellenpéldaként…)

    A felhozott gondolatkísérletekből egyébként nagyon sok érdekességet tanulhatunk a számok világáról, bátorítok mindenkit hogy olvasson utánuk 🙂 Egyik kedvenc youtube oldalam videóját szerettem volna még itt hagyni – úgy érem, Isten és a teremtett világ szépéségét az ilyen különleges területeken is lehet ám csodálni 🙂 https://www.youtube.com/watch?v=elvOZm0d4H0 (pl, a Szaturnuszos példában -szerintem- nincs ellentmondás. A matematikai válasz, hogy mindketten végtelenszer kerülték meg, de a végtelen nem egy szám, így ez még nem jelenti azt hogy tényleg ugyanannyiszor tették meg 😛 Számosságukat tekintve viszont egyszerű képlettel megmutatható, egyik X, másik 2.5X -szer kerülte meg, és X határértéke végtelen. Micsoda elegáns (de kitérő :P) válasz 😀 )

    1. Szia!

      Köszi a kommentet! Sok dologban egyetértünk. A Numberphile-t pedig én is szeretem 🙂

      Egy gondolatodra reflektálnék, arra, hogy a matematikát nem kitaláljuk vagy létrehozzuk, hanem felfedezzük, mint Amerikát. Ez egyes esetekben szerintem is így van (a π jó példa), azonban a végteleneknek azokkal a vonatkozásaival, amiket a poszt tárgyal, elsősorban a halmazelmélet foglalkozik. Viszont nincs „egy” halmazelmélet: az ún. naiv halmazelméletről, amelyet Georg Cantor fogalmazott meg, kiderült, hogy ellentmondásra vezet. Ezt követően pedig több axiomatikus halmazelméletet javasoltak a matematikusok (eltérő axiómákkal), amelyek közül sztenderdnek elfogadott az ún. Zermelo-Fraenkel halmazelmélet. Azonban mivel ezek a rendszerek axiómákon alapulnak, definíció szerint nem dönthető el matematikailag, hogy valamelyik helyesebb-e, mint a másik, hacsak ezek is nem tartalmaznak ellentmondásokat. Így nem egyértelmű, hogy ami például a ZF-halmazelméletben bizonyított, az a valóságban is feltétlenül igaz-e.

      1. Jogos a felvetésed, és ebben egy kis elgondolkodás után azt hiszem igazat is kell adjak 🙂 Hiszen az egyes halmazelméletek „univerzumainak” közös alapjai egyedül talán a formális nyelvek. Ezen felül viszont a halmazelméleti rendszerek saját logkiai szabályai, jelölései, axiómái amik végtelen kombinációt eredményezhetnek, és amelyekből próbálunk az éppen aktuális problémára legjobban illeszkedő rendszert felállítani, legyen szó akár a matematikai logikáról vagy a bonyolultságelmélet osztályairól…

Vélemény, hozzászólás?

Az email címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöljük.